На місці села  Будище Звенигородського району колись у лісі була буда, де виробляли поташ. Звідси й пішла його назва. Проте в селі й до нині існує переказ, який по іншому тлумачить обставини заснування і походження назви села.
Проїжджав тут колись один козак. А шлях після дощів так розмило, що ні проїхати, ні пройти. Він тут зупинився, щоб перепочити та заховатися від негоди. І так побувши тут певний час, він роздивився, що що місцевість для життя дуже гарна і земля родюча. І він вирішив тут поселитися. Обзавівся сім’єю, господарством.
Через певний час приїжджають до нього козаки-побратими. Подивилися,що крім його хати нікого поблизу немає, та й говорять йому:
- І чого ти тут оселився, як вовк у лісі? Ні сусідів тобі, ні товариства.
- Та нічого. Пройде час і буде тут ще людей. Буде ще!
- Ну, так хай буде ще!-махнули на нього товариші та й поїхали.
Пройшло кілька років. Козаки-побратими знову згадали про свого товариша. Давай провідаємо того нашого побратима, який живе сам та говорив, що там буде ще.
Приїжджають, а навколо поселення козака утворився хутір. Здивувалися побратими:
-От тобі так буди ще! Так нібито і справді утворилася назва села.

Джерело: http://nsku.ck.ua/index.php?option=com_content&view=article&id=23:2010-1...